18:31 

Вопрос по линейной алгебре

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!

Не могли бы Вы подсказать, как действовать в следующей задаче?

В некотором ортонормированном базисе квадратичная форма имеет вид `7x_1^2+2x_1x_2-x_2^2`. Найдите ортонормированный базис, в котором эта форма имеет вид `2x_1^2-8x_1x_2+4x_2^2` или докажите, что такого базиса не существует.

Поскольку эти квадратичные формы имеют одинаковые характеристические многочлены, они могут быть формами одной и той же квадратичной формы. Правильно ли я понимаю, что для поиска базиса необходимо воспользоваться формулой `A'=S^TAS`?

Спасибо!

С уважением,
Ольга Гнилова
гр. БЭК 154

Комментарии
2015-12-19 в 19:26 

Действительно, одинаковые характеристические многочлены указывают на то, что формы имеют одинаковый вид в ортонормированных базисах из собственных векторов. Если соответствующие матрицы перехода `S_1` и `S_2`, то матрица искомого перехода `S=S_2^{-1}S_1`.

Поскольку в данной задаче собственные значения и собственные векторы иррациональны, то удобно искомую матрицу `S` искать из Вашего соотношения `A'=S^TAS`. Поскольку базисы ортонормированные, то `S^T=S^{-1}`. Поэтому уравнение можно представить в виде `SA'=AS`, затем обозначить элементы `S` через, например, `x_1,x_2,x_3,x_4` и выписать соответствующую однородную систему линейных уравнений относительно указанных неизвестных.

Поскольку искомая матрица `S` существует, то найдутся ненулевые решения системы (будет две свободные неизвестные). Условие перпендикулярности столбцов `S` позволит оставить только одну свободную переменную, значение которой в итого находится из условия нормированности базиса.

2015-12-19 в 19:29 

Спасибо!

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная