Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
00:09 

Задача 2884 из сборника Б.П. Демидовича

Добрый вечер, Сергей Григорьевич.

Помогите пожалуйста с разложением функции в степенной ряд.

Заранее спасибо.

С уважением,
Э. Аюнц, гр.1102

Комментарии
2015-05-22 в 07:33 

Требуется найти ряд Маклорена для функции `\ln^2(1-x)`.

Задача сводится к подсчету коэффициентов произведения `\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}\cdot\sum_{p=1}^{\infty} \frac{x^p}{p}.
`
В итоге для всех `m=2,3,\dots` при `x^m` коэффициент оказывается равен сумме
`\sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k}\frac{1}{m-k}`.

Раскладывая на простейшие дроби, получим `\frac{1}{k}\frac{1}{m-k}=\frac{1}{m}(\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k})`.
Знаменатели простейших дробей принимают по одному разу каждое из значений `1,2,\dots,m-1`. Следовательно, `\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{m}(\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k})=\frac{2}{m}\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k}`.
После замены `n=m-1` или `m=n+1` получается ответ из задачника `\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}\cdot\sum_{p=1}^{\infty} \frac{x^p}{p}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n+1}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})x^{n+1}`.

2015-05-22 в 21:38 

Спасибо большое.

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная