00:20 

Лекция от 06.11.2014

Уважаемый Сергей Григорьевич!

На последней лекции в качестве примера к теореме о пределах в полярных координатах Вы приводили предел `lim_(x,y->0,0)((x^2*y)/(x^4+y^2))`. Для решения данного предела Вы перешли к полярным координатам, а после проиллюстрировали решение с помощью графика функции `y=x^2`. Как был осуществлён переход к данному графику и почему была выбрана именно эта функция?

С уважением,
Лысенко Арсений. Группа 1102.

Комментарии
2014-11-11 в 08:47 

1) Известное необходимое условие экстремума требует независимость предела по кривым от траектории захода в предельную точку в случае существования предела.
2) Равенство нулю полярного предела при некотором `\phi` означает равенство нулю предела по лучу из начала координат с углом `\phi` .

Следовательно, пример неравномерной сходимости получается при нулевом пределе по лучам и ненулевом пределе по параболе. Подобрать подходящую дробь после этого уже не сложно.

Пример этот - известный. Он приводится, скажем, в книге В.А.Зорича.

2014-11-11 в 18:04 

То есть, так как обе данные функции имеют экстремум в этой точке и их пределы по данной базе равны, то мы можем заменить одну функцию на другую при рассмотрении предела по данной базе, независимо от того, как они ведут себя в иных точках?И мы могли бы использовать например функцию y=cos(x)-1?

2014-11-11 в 18:25 

Причем здесь экстремумы?!
Вот относящийся к теме фрагмент учебника.
Без каких-либо изменений в формулировке и доказательстве переносится на случай векторных функций теорема о пределе композиции функций. Одно из применений этой теоремы таково:
если `\lim_{x\to x_0} f(x)=L`, то `\lim_{t\to t_0} f(\varphi(t))=L` для любой функции числового аргумента `\varphi`, удовлетворяющей условию `\lim_{t\to t_0} \varphi(t)=x_0`, `\varphi(t)\neq x_0` финально при `t\to t_0`.

В качестве функции числового аргумента `\varphi` в рассматриваемом примере можно взять `\varphi(t)=(t,k\cdot t)` (движение по лучу при `t\to 0`), а можно взять `\varphi(t)=(t,t^2)` (движение по параболе). Поскольку соответствующие пределы не равны, то двойной предел не существует.

2014-11-12 в 14:27 

Спасибо! Теперь разобрался.

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная