12:29 

Что такое образ и прообраз мн-ва и вместе с этим иньекция и сюрьекция

Образом множества `A\subset X` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f(A)` множество`\{f(x): x\in A\}\subset Y`.
Если `f(X)=Y`, то отображение `f` называется отображением "на'" `Y` или сюръекцией.
Прообразом множества `B\subset Y` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f^{-1}(B)` множество `{x\in X: f(x)\in B}`.
Если для всех `y\in Y` множество `f^{-1}({y})` содержит не более одной точки, то отображение `f` называется инъекцией.
Отображение `f:X\to Y` называется взаимно однозначным отображением или биекцией, если оно является одновременно инъекцией и сюръекцией.

Таким образом, `f(A)` есть просто множество значений `f` на множестве `A`. Можно рассматривать `f` как отображение `f: A\to Y`, игнорируя действие `f` на внешние точки множества `A`. Для каждой отдельной точки `x\in A` образ соответствующего одноточечного множества `{x}` есть значение `f(x)` в данной точке. Множество `f(A)`есть объединение всех таких одноточечных множеств `f(x)`, т.е. `f(A)=\cup_{x\in A} f(x)`.

Пообраз одноточесного множества `{y}` есть нe что иное, как множество решений уравнения `f(x)=y` с параметром `y`. Прообраз множества `B` есть объединение решений всех таких уравнений для `y\in B`. Например, при отображении `f:RR\to RR`, где `f=\sin`, образ одноточечного множества `{0}` есть одноточечное множество `{0}`, а прообраз нуля есть множество решений уравнения `\sin x=0`, т.е. `x=\pi\cdot n, n\in ZZ`. Для обеспечения единсвенности решений данного уравнения достаточно рассматривать синус на отрезке `[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]`. На том же отрезке уравнение `\sin x=y` имеет не более одного решения для любого `y\in RR`, т.е. `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` является инъекцией. Для `y\notin [-1,1]` уравнение решения не имеет, т.е.`f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` не является сюръекцией. Отображение `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]` , где `f=\sin`, является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, это взаимно однозначное отображение указанных множеств или биекция.

Рассмотрим примеры отображений плоскости `E^2` и пространства `E^3`.
Отображения `f:E^2\to E^2` параллельный перенос, поворот плоскости вокруг заданной точки, симметрия относительно заданной точки, симметрия относительно заданной прямой, гомотетия (растяжение или сжатие плоскости относительно заданной точки) являются биекцией. Проекция плоскости на заданную прямую не является ни инъекцией, ни сюръекцией.

При попытке изобразить пространственную фигуру на плоскости обычно совершается некоторая разновидность проекции `f:E^3\to E^2`. При этом неизбежно параллельные направлению проецирования прямые переходят в точки. Т.е. инъективности нет, но есть сюръективность.

@темы: Образ, прообраз, биекция

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная