Соотношение `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(x))+C`, где `F` - одна из первообразных `f`, проверяется дифференцированием левой и правой части. Отсюда в соответствующем определенном интеграле по формуле Ньютона-Лейбница `\int_a^b f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt`. Монотонность функции `\varphi` не требуется.

Например, в задаче 1697 требуется найти `I=\int tg(x) dx`. Поскольку `tg(x)=\sin (x)/\cos(x)`, а `\cos'(x)=-\sin(x)`, то здесь с точностью до знака интеграл вида `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx`, где `\varphi(x)=\cos(x)`. Поскольку подходящую функцию `F` еще надо найти как одну из перообразных `f`, то здесь принято писать следующим образом.
Пусть `t=\varphi(x)=\cos(x)`. Тогда `dt=-\sin(x)dx` или `\sin(x)dx=-dt` и
`I=\int \frac{-dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|cos(x)|+C`.

Примерно также в задаче 1698 находится `I=\int ctg(x) dx=\ln|\sin(x)|+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл