09:04 

Задача 1797

Найти `I=\int x^3 e^{x^2} dx`.

Применим метод интегрирования по частям: если на некотором промежутке дифференцируемы функции `f` и `g`, а также по крайней мере одна из функций `fg'` и `f'g` интегрируема , то на этом промежутке интегрируемы обе эти функции, причем
`\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx.`

Здесь напрашивается распределение ролей `f(x)=x^3`, `g'(x)=e^{x^2}`. Однако, интеграл `\int e^{x^2}dx` - "неберущийся", т.е. первообразные не являются элементарными функциями. Поэтому надо "хитрить": `f(x)=x^2`, `g'(x)=xe^{x^2}`. Тогда `f'(x)=2x`, `g(x)=\int xe^{x^2} dx=1/2 e^{x^2}`. Следовательно,
`I=x^2\cdot 1/2 e^{x^2}-\int 2x 1/2 e^{x^2}=1/2 x^2 e^{x^2}-1/2 e^{x^2}+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная