17:49 

Задача 1648

Найти `I=\int \sqrt{1-\sin(2x)}dx`, `(0\le x\le\pi)`.

Заметим, что `(\cos(x)-\sin(x))^2=\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=1-\sin(2x)`. Следовательно, `I=\int |\cos(x)-\sin(x)| dx`.


Поскольку ` |\cos(x)-\sin(x)|={(\cos(x)-\sin(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\cos(x)+\sin(x) if x\in [\pi/4;\pi]):}`, то первообразные на отрезке `[0;\pi/4]` имееют вид `\sin(x)+\cos(x)+C_1`, а на отрезке `[\pi/4;\pi])` имееют вид `-\sin(x)-\cos(x)+C_2`. Первообразные на всем отрезке `[0;\pi]` должны соответствовать согласованным `C_1` и `C_2`, обеспечивающим непрерывный переход от `(\sin(x)+\cos(x)+C_1)` к `-\sin(x)-\cos(x)+C_2)`.

`\lim_{x\to \pi/4-}(\sin(x)+\cos(x)+C_1)=\sqrt{2}+C_1`, `\lim_{x\to \pi/4+}(-\sin(x)-\cos(x)+C_2)=-\sqrt{2}+C_2`. Следовательно, `C_2-C_1=2\sqrt{2}`. Выбирая `C_1=0`, приходим к одной из первообразных `F(x)={(\sin(x)+\cos(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\sin(x)-\cos(x)+2\sqrt{2} if x\in [\pi/4;\pi]):}`.

Окончательный ответ: `I=F(x)+C`, где `C\in \mathbb{R}`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная