Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
19:13 

Попробуйте что-нибудь проинтегрировать


Возьмите, например, заготовку из сообщения westhaimer.diary.ru/p184711233.htm. Скопируйте текст заготовки и вставьте его в визуальный онлайн-редактор формул asciimathml.narod2.ru/visualeditor/ressources/f.... Затем превратите решение задачи 1628 в решение какой-нибудь задачи о простейших интегралах 1629,1631,1633 - 1635,1639 - 1650, 1655 - 1659, 1661 - 1670.

Было.
Номер 1628 из задачника Демидовича. Найти `I=\int (3-x^2)^3 dx`.
Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим `I=\int (27-27*x^2+9*x^4-x^6) dx= 27*x-9*x^3+9/5*x^5-1/7*x^7+C`.

Стало.
Номер 1629 из задачника Демидовича.
Найти `I=\int x^2 (5-x)^4 dx`.

Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^4=a^4-4*a^3*b+6*a^2*b^2-4*a*b^3+b^4` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим
`I=\int (625*x^2-500*x^3+150*x^4-20*x^5+x^6) dx= 625/3*x^3-125*x^4+30*x^5-10/3*x^6+1/7*x^7+C`.

Другой способ решения.
`I=\int((5-x)-5)^2*(5-x)^4dx=\int((5-x)^6-10*(5-x)^5+25*(5-x)^4) dx=-1/7*(5-x)^7+10/6*(5-x)^6-25/5*(5-x)^5+C`.
Здесь использовано следующее свойство интегралов: если `\int f(x)dx=F(x)+C`, то `\int f(\alpha x+\beta)dx=\frac{F(\alpha x+\beta)}{\alpha}+C`, где `\alpha\neq 0, \beta` некоторые вещественные числа. Выражение `5-x` есть выражение типа `\alpha x+\beta` при `\alpha=-1`, `\beta=5`.

Указанные в двух вариантах ответа к задаче 1629 первообразные отличаются только на константу (здесь это `15625/21`).


@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Комментарии
2013-02-07 в 21:17 

Здравствуйте, не могли бы подсказать первые шаги в решении: `int (2cosx+3sinx)/((2sinx-3cosx)^3) dx`

2013-02-07 в 21:26 

Попробуйте увидеть здесь интеграл вида `I=\int f(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) dx`. Тогда напрашивается замена переменной `t=\varphi(x)`, приводящая к интегралу `\int f(t) dt=F(t)+C`. После этого сразу получается ответ `I=F(\varphi(x))+C` (просто возвращаемся к исходной переменной).

Справка: `(2sinx-3cosx)'=2cosx+3sinx`.

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная