Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
15:06 

Простейшие методы интегрирования

К простейшим методам интегрирования относится использование основных табличных интегралов в сочетании с обычными алгебраическими преобразованиями и возможностью искать интеграл суммы в виде суммы интегралов, а также выносить постоянный множитель за знак интеграла.

Краткая таблица интегралов



1) $\int const\,dx=const\cdot x+C$
2) $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, $\alpha\neq-1$
3) $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4) $\int \sin (x)\,dx=-\cos(x)+C$
5) $\int \cos (x)\,dx=\sin(x)+C$
6) $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
7) $\int \frac{dx}{\cos^2 (x)}=tg(x)+C$
8) $\int \frac{dx}{\sin^2 (x)}=-ctg(x)+C$
9) $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg(\frac{x}{a})+C$
10) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot \ln\left| \frac{x-a}{x+a}\right|+C$
11) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
12) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$

В равенстве (6) основание показательной функции $a>0, a\neq 1$, в остальных случаях в данной таблице $a$ --- произвольное ненулевое число. Дифференцируя обе части каждого из включенных в таблицу соотношений, можно убедиться в их справедливости.
запись создана: 21.01.2013 в 20:30

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Комментарии
2013-01-21 в 20:45 

В известном задачнике Б.П.Демидовича простейшие неопределенные интегралы в задачах 1628,1629,1631,1633 - 1635,1639 - 1650, 1655 - 1659, 1661 - 1670.

2013-01-21 в 20:55 

Пример построения множества всех первообразных функции `f(x)= (2-3\sqrt{x})^2`, т.е. неопределенный интеграл `\int (2-3\sqrt{x})^2 dx`. После возведения в квадрат получается
`\int (4-12\sqrt{x}+9x)dx=4\int 1dx-12\int \sqrt{x}dx+9\int xdx=4\cdot x-12\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}+9\cdot\frac{x^2}{2}=4\cdot x-8\cdot x^{3/2}+\frac{9}{2}\cdot x^2 +C`.

Ритуальное слагаемое `+C` записывается только в самом конце цепочки, приводящей к первообразной.

2013-01-27 в 16:53 

Номер 1628 из задачника Демидовича.
Найти `I=\int (3-x^2)^3 dx`.

Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим `I=\int (27-27*x^2+9*x^4-x^6) dx= 27*x-9*x^3+9/5*x^5-1/7*x^7+C`.

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Mathematical Analysis HSE

главная