Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Epygraph (список заголовков)
17:46 

Правила сообщества.

1. Каждый может поучаствовать в обсуждениях либо в качестве открывателя новой записи (щелкнуть на <Написать в сообщество> в первой строчке в левой части страницы), либо в качестве комментатора одной из существующих записей (щелкнуть на <Комментировать> под соответствующим сообщением и добраться до поля <Добавить комментарий> в конце открывшейся страницы комментариев). Первооткрыватель новой записи далее называется топик-стартером и обозначается через ТС:

Формулировка первоначального вопроса ТС и любого последующего комментария к нему приводится с использованием обычного текста и с помощью специального формата записи формул (см.hsemath.diary.ru/p185394647.htm). Можно использовать вложенные картинки;

ТС должен в конце сообщения заполнить поле @темы, указывая раздел курса или несколько разделов через точку с запятой, к которым относится данное сообщение. Полезно предварительно просмотреть список уже существующих тем (щелкнуть на <Темы записей> в одной из строчек в левой части страницы). Щелчок по любой позиции списка тем вызывает появление в правой части экрана подборки из всех существующих сообщений на данную тему. Иногда так можно найти ответ на вопрос еще до создания нового сообщения;

Если вопрос связан с материалом базовых учебников по МА, то стоит указать источник: страницу учебника, номер теоремы или задачи.

2. Категорически запрещено удалять выложенные задания или отдельные их позиции. Они могут пригодиться другим в качестве образца. Кроме того, в них вложен труд тех, кто помог Вам в решении;

3. Просим помнить, что полные решения мы не даем, любые работы на оценку мы не решаем;

4. Не допускаются обращения к экспертам (решателям) в приват (u-mail, ICQ, e-mail, Skype и проч.) с просьбами о помощи: вся помощь осуществляется исключительно в данном сообществе;

5. Запрещается использовать ненормативную лексику в текстах сообщений, подписях, никах и аватарах, оскорблять членов и гостей сообщества. Наказание — исключение из сообщества.

6. Если решение задачи представлено в виде картинки или видео, то по просьбе решателя посетитель сообщества должен предоставить решение и в виде текста.

7. Не забывайте, что на редактирование и даже уничтожение сообщения отводится не более суток. После этого изменения могут вносить только модераторы. К модераторам можно обратиться по U-mail.

8. Обращение к решателям. Просьба придерживаться концепции сообщества, то есть учить решать задачи. Пожалуйста, воздержитесь от полных готовых решений. Желательными способами оказания помощи являются, в частности, следующие:

1) Объяснить первый шаг решения задачи, предложив восстановить дальнейший ход рассуждений самостоятельно.

2) Дать ссылки на теоретические факты, которые должны быть использованы в решении задачи.

3) Описать общий ход решения, опустив технические детали, которые автор вопроса может восстановить самостоятельно.


запись создана: 01.09.2013 в 18:20

17:46 

Еще раз о том, как читать и писать математические формулы

Как читать написанные ранее формулы?

1) Ваш браузер (проверено на Chrome и FireFox) должен показывать панель закладок. Там у Вас сохраняются ссылки на полезные страницы интернет.
2) Зайдите на интернет-страницу asciimathml.narod2.ru/ . Можете щелкнуть мышью по этой ссылке и откроется новое окно с нужной страницей.
3) Перетащите с той страницы ссылку AsciiMathML Bookmarklet на панель закладок, т.е. установите курсор мыши где-то в пределах указанной синей записи, прижмите левую кнопку мыши и, не отпуская кнопку, тащите прижатое на свободное место панели закладок. Там отпустите кнопку мыши и увидите на панели новый значок с надписью AsciiMathML Bookmarklet.
4) Теперь для просмотра сообщения форума, содержащего формулы, достаточно щелкнуть мышью по закладке AsciiMathML Bookmarklet
на Вашей панели закладок. Ходить на страницу asciimathml.narod2.ru/ больше не надо.

Как самому написать формулу?

Надо воспользоваться правилами написания формул, подготовленные Вашими предшественниками на интернет-страницах pay.diary.ru/~eek/p103177145.htm (ХЭЛП по набору формул) или eek.diary.ru/p164249281.htm (Основные инструкции по пользовательскому скрипту).

Любая формула должна начинаться и заканчиваться специальной кавычкой, которая появится при нажатии клавиши с русской буквой ё в режиме набора латиницы. Клавиша находится в северо-западном углу клавиатуры под клавишей ESC.

Например, `int_0^1 x^2 dx=x^3/3|_0^1=1/3-0/3=1/3`.



запись создана: 13.02.2013 в 18:45

@темы: настройка

18:43 

Теоретические вопросы к экзамену по курсу математического анализа

1. Необходимое условие условного экстремума (принцип множителей Лагранжа)

2. Достаточное условие условного экстремума (то, что без окаймленного гессиана)

3. О гладкой зависимости безусловных экстремумов от параметров

4. О гладкой зависимости условных экстремумов от параметров

5. Теорема об огибающей для безусловного экстремума

6. Теорема об огибающей для условного экстремума. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа

7. Теорема Эйлера об однородных функциях

8. Об однородности производных однородной функции

9. О поверхностях уровня однородной функции

10. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла

11. О свойствах определенного интеграла как функции переменного верхнего предела. Существование первообразной непрерывных функций.

12. О сходимости абсолютно сходящегося числового ряда

13. Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

14. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

15. Сравнительный признак сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

16. Сравнительный признак сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми в предельной форме

17. Признак Даламбера сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми

18. О независимости суммы абсолютно сходящегося ряда от перестановки слагаемых

19. Признак Лейбница сходимости знакопеременных числовых рядов

20. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда

21. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

22. О непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

О непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда из непрерывных функций

23. Об интегрируемости предела равномерно сходящейся последовательности интегрируемых функций

24. О равномерной сходимости степенного ряда на отрезках из области сходимости

25. Об области сходимости степенного ряда

26. О сходимости ряда Тейлора функции к породившей его функции



 


запись создана: 02.03.2013 в 21:26

@темы: Экзамен

15:00 

Набор формул в iPad. Extended Keyboard

Бесплатная программа Extended Keyboard расширяет стандартную клавиатуру iPad. Можно набирать текст с формулами в окне этой программы, затем копировать набранное и вставлять на нашем форуме. Получить программу можно с помощью страницы itunes.apple.com/ru/app/extended-keyboard/id431...
запись создана: 12.10.2013 в 11:35

@темы: настройка

20:34 

Консультации по пятницам

В четвертом модуле для консультаций по математическому анализу выделена аудитория 5213 с 13-40 до 15-00 каждую пятницу.
запись создана: 17.01.2014 в 21:57

@темы: Консультации

20:57 

Консультации по ЛА и МА во втором модуле

Теперь консультации по этим предметам проводятся по пятницам.
Сначала по МА с 13.40 до 15.00 в 3102.
Затем по ЛА с 15.00 до 16.30 в 4413.

11:40 

Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, 1661-1704

Прочитать о Гийоме Франсуа Лопитале можно здесь
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%BF%D0%B8%...

@темы: Правило Лопиталя

12:29 

Что такое образ и прообраз мн-ва и вместе с этим иньекция и сюрьекция

Образом множества `A\subset X` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f(A)` множество`\{f(x): x\in A\}\subset Y`.
Если `f(X)=Y`, то отображение `f` называется отображением "на'" `Y` или сюръекцией.
Прообразом множества `B\subset Y` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f^{-1}(B)` множество `{x\in X: f(x)\in B}`.
Если для всех `y\in Y` множество `f^{-1}({y})` содержит не более одной точки, то отображение `f` называется инъекцией.
Отображение `f:X\to Y` называется взаимно однозначным отображением или биекцией, если оно является одновременно инъекцией и сюръекцией.

Таким образом, `f(A)` есть просто множество значений `f` на множестве `A`. Можно рассматривать `f` как отображение `f: A\to Y`, игнорируя действие `f` на внешние точки множества `A`. Для каждой отдельной точки `x\in A` образ соответствующего одноточечного множества `{x}` есть значение `f(x)` в данной точке. Множество `f(A)`есть объединение всех таких одноточечных множеств `f(x)`, т.е. `f(A)=\cup_{x\in A} f(x)`.

Пообраз одноточесного множества `{y}` есть нe что иное, как множество решений уравнения `f(x)=y` с параметром `y`. Прообраз множества `B` есть объединение решений всех таких уравнений для `y\in B`. Например, при отображении `f:RR\to RR`, где `f=\sin`, образ одноточечного множества `{0}` есть одноточечное множество `{0}`, а прообраз нуля есть множество решений уравнения `\sin x=0`, т.е. `x=\pi\cdot n, n\in ZZ`. Для обеспечения единсвенности решений данного уравнения достаточно рассматривать синус на отрезке `[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]`. На том же отрезке уравнение `\sin x=y` имеет не более одного решения для любого `y\in RR`, т.е. `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` является инъекцией. Для `y\notin [-1,1]` уравнение решения не имеет, т.е.`f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` не является сюръекцией. Отображение `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]` , где `f=\sin`, является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, это взаимно однозначное отображение указанных множеств или биекция.

Рассмотрим примеры отображений плоскости `E^2` и пространства `E^3`.
Отображения `f:E^2\to E^2` параллельный перенос, поворот плоскости вокруг заданной точки, симметрия относительно заданной точки, симметрия относительно заданной прямой, гомотетия (растяжение или сжатие плоскости относительно заданной точки) являются биекцией. Проекция плоскости на заданную прямую не является ни инъекцией, ни сюръекцией.

При попытке изобразить пространственную фигуру на плоскости обычно совершается некоторая разновидность проекции `f:E^3\to E^2`. При этом неизбежно параллельные направлению проецирования прямые переходят в точки. Т.е. инъективности нет, но есть сюръективность.

@темы: Образ, прообраз, биекция

09:21 

Простейшие замены переменных

Соотношение `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(x))+C`, где `F` - одна из первообразных `f`, проверяется дифференцированием левой и правой части. Отсюда в соответствующем определенном интеграле по формуле Ньютона-Лейбница `\int_a^b f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt`. Монотонность функции `\varphi` не требуется.

Например, в задаче 1697 требуется найти `I=\int tg(x) dx`. Поскольку `tg(x)=\sin (x)/\cos(x)`, а `\cos'(x)=-\sin(x)`, то здесь с точностью до знака интеграл вида `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx`, где `\varphi(x)=\cos(x)`. Поскольку подходящую функцию `F` еще надо найти как одну из перообразных `f`, то здесь принято писать следующим образом.
Пусть `t=\varphi(x)=\cos(x)`. Тогда `dt=-\sin(x)dx` или `\sin(x)dx=-dt` и
`I=\int \frac{-dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|cos(x)|+C`.

Примерно также в задаче 1698 находится `I=\int ctg(x) dx=\ln|\sin(x)|+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

09:04 

Задача 1797

Найти `I=\int x^3 e^{x^2} dx`.

Применим метод интегрирования по частям: если на некотором промежутке дифференцируемы функции `f` и `g`, а также по крайней мере одна из функций `fg'` и `f'g` интегрируема , то на этом промежутке интегрируемы обе эти функции, причем
`\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx.`

Здесь напрашивается распределение ролей `f(x)=x^3`, `g'(x)=e^{x^2}`. Однако, интеграл `\int e^{x^2}dx` - "неберущийся", т.е. первообразные не являются элементарными функциями. Поэтому надо "хитрить": `f(x)=x^2`, `g'(x)=xe^{x^2}`. Тогда `f'(x)=2x`, `g(x)=\int xe^{x^2} dx=1/2 e^{x^2}`. Следовательно,
`I=x^2\cdot 1/2 e^{x^2}-\int 2x 1/2 e^{x^2}=1/2 x^2 e^{x^2}-1/2 e^{x^2}+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

17:49 

Задача 1648

Найти `I=\int \sqrt{1-\sin(2x)}dx`, `(0\le x\le\pi)`.

Заметим, что `(\cos(x)-\sin(x))^2=\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=1-\sin(2x)`. Следовательно, `I=\int |\cos(x)-\sin(x)| dx`.


Поскольку ` |\cos(x)-\sin(x)|={(\cos(x)-\sin(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\cos(x)+\sin(x) if x\in [\pi/4;\pi]):}`, то первообразные на отрезке `[0;\pi/4]` имееют вид `\sin(x)+\cos(x)+C_1`, а на отрезке `[\pi/4;\pi])` имееют вид `-\sin(x)-\cos(x)+C_2`. Первообразные на всем отрезке `[0;\pi]` должны соответствовать согласованным `C_1` и `C_2`, обеспечивающим непрерывный переход от `(\sin(x)+\cos(x)+C_1)` к `-\sin(x)-\cos(x)+C_2)`.

`\lim_{x\to \pi/4-}(\sin(x)+\cos(x)+C_1)=\sqrt{2}+C_1`, `\lim_{x\to \pi/4+}(-\sin(x)-\cos(x)+C_2)=-\sqrt{2}+C_2`. Следовательно, `C_2-C_1=2\sqrt{2}`. Выбирая `C_1=0`, приходим к одной из первообразных `F(x)={(\sin(x)+\cos(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\sin(x)-\cos(x)+2\sqrt{2} if x\in [\pi/4;\pi]):}`.

Окончательный ответ: `I=F(x)+C`, где `C\in \mathbb{R}`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

19:13 

Попробуйте что-нибудь проинтегрировать


Возьмите, например, заготовку из сообщения westhaimer.diary.ru/p184711233.htm. Скопируйте текст заготовки и вставьте его в визуальный онлайн-редактор формул asciimathml.narod2.ru/visualeditor/ressources/f.... Затем превратите решение задачи 1628 в решение какой-нибудь задачи о простейших интегралах 1629,1631,1633 - 1635,1639 - 1650, 1655 - 1659, 1661 - 1670.

Было.
Номер 1628 из задачника Демидовича. Найти `I=\int (3-x^2)^3 dx`.
Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим `I=\int (27-27*x^2+9*x^4-x^6) dx= 27*x-9*x^3+9/5*x^5-1/7*x^7+C`.

Стало.
Номер 1629 из задачника Демидовича.
Найти `I=\int x^2 (5-x)^4 dx`.

Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^4=a^4-4*a^3*b+6*a^2*b^2-4*a*b^3+b^4` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим
`I=\int (625*x^2-500*x^3+150*x^4-20*x^5+x^6) dx= 625/3*x^3-125*x^4+30*x^5-10/3*x^6+1/7*x^7+C`.

Другой способ решения.
`I=\int((5-x)-5)^2*(5-x)^4dx=\int((5-x)^6-10*(5-x)^5+25*(5-x)^4) dx=-1/7*(5-x)^7+10/6*(5-x)^6-25/5*(5-x)^5+C`.
Здесь использовано следующее свойство интегралов: если `\int f(x)dx=F(x)+C`, то `\int f(\alpha x+\beta)dx=\frac{F(\alpha x+\beta)}{\alpha}+C`, где `\alpha\neq 0, \beta` некоторые вещественные числа. Выражение `5-x` есть выражение типа `\alpha x+\beta` при `\alpha=-1`, `\beta=5`.

Указанные в двух вариантах ответа к задаче 1629 первообразные отличаются только на константу (здесь это `15625/21`).


@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

10:11 

Как связать сообщение с определенной темой

Есть несколько вариантов.

1) Создать заглавное сообщение, открывающее тему, а последующие сообщения этой темы размещать в виде комментариев.

Такие заготовки уже подготовлены Westhaimerом. К сожалению, заходя на первую страницу сообщества, многие не узнают о поступлении нового сообщения в виде комментария к давнему сообщению. Если специально подписаться на это сообщение, то по почте будут приходить уведомления о новых комментариях. Или надо один раз написать комментарий в эту тему.


2) При создании сообщения указать тему в поле @темы. Можно сразу несколько тем через точку с запятой указать.

В результате позднее любой член сообщества в любое время сможет на левой панели страницы выбрать <Темы записей>-><нужная тема> и увидеть подборку из всех сообщений на выбранную тему, упорядоченную по дате.

Второй вариант кажется более удобным во многих отношениях.

@темы: регламент

15:06 

О текущем моменте

Вскоре все студенты Первого потока получат свои индивидуальные варианты домашнего задания. В память об исключенном из учебного плана первом домашнем задании, включавшем исследование нескольких функций и построение их графиков, поиск экстремумов (безусловных) функций многих переменных, исследование линий уровня функций многих переменных и расположения вектора-градиента по отношению к ним, данное задание называется вторым домашним заданием.

Половина заданий ДЗ-2 связана с интегралами. Пока не выданы варианты задания и не было занятий по интегралам, самое время заняться задачами об условных экстремумах. Приветствуются вопросы, связанные с проблемами в процессе решения задач этого раздела.
запись создана: 23.01.2013 в 21:51

15:06 

Простейшие методы интегрирования

К простейшим методам интегрирования относится использование основных табличных интегралов в сочетании с обычными алгебраическими преобразованиями и возможностью искать интеграл суммы в виде суммы интегралов, а также выносить постоянный множитель за знак интеграла.

Краткая таблица интегралов



1) $\int const\,dx=const\cdot x+C$
2) $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, $\alpha\neq-1$
3) $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4) $\int \sin (x)\,dx=-\cos(x)+C$
5) $\int \cos (x)\,dx=\sin(x)+C$
6) $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
7) $\int \frac{dx}{\cos^2 (x)}=tg(x)+C$
8) $\int \frac{dx}{\sin^2 (x)}=-ctg(x)+C$
9) $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg(\frac{x}{a})+C$
10) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot \ln\left| \frac{x-a}{x+a}\right|+C$
11) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
12) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$

В равенстве (6) основание показательной функции $a>0, a\neq 1$, в остальных случаях в данной таблице $a$ --- произвольное ненулевое число. Дифференцируя обе части каждого из включенных в таблицу соотношений, можно убедиться в их справедливости.
запись создана: 21.01.2013 в 20:30

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Mathematical Analysis HSE

главная