Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных

Добро пожаловать, студенты НИУ ВШЭ!

В Mathematical Analysis HSE студенты первого потока факультета экономики НИУ ВШЭ могут обсуждать всё, связанное с изучением математического анализа и близких дисциплин, таких как линейная алгебра, методы оптимальных решений и дифференциальные уравнения.

Крайне важно! Перед началом работы ознакомьтесь с правилами сообщества .


Ниже представлены полезные ссылки, которые пригодятся Вам при работе в сообществе:

Настраиваем отображение математических формул

Помощь по набору формул

Администраторы: Epygraph, hsemath
URL
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
18:31 

Глава 2. Непрерывные векторные функции. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Непрерывные векторные функции.

@темы: Глава 2. Непрерывные векторные функции. (Книга 2)

18:32 

Глава 3. Дифференцируемые векторные функции. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Дифференцируемые векторные функции

@темы: Глава 3. Дифференцируемые векторные функции. (Книга 2)

18:33 

Глава 4. Некоторые приложения многомерного анализа. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Некоторые приложения многомерного анализа

@темы: Глава 4. Некоторые приложения многомерного анализа. (Книга 2)

18:34 

Глава 5. Неопределенный интеграл. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Неопределенный интеграл.

@темы: Глава 5. Неопределенный интеграл. (Книга 2)

18:35 

Глава 6. Определенный интеграл. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Определенный интеграл.

@темы: Глава 6. Определенный интеграл. (Книга 2)

18:36 

Глава 7. Кратные интегралы. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Кратные интегралы

@темы: Глава 7. Кратные интегралы. (Книга 2)

18:38 

Глава 8. Числовые ряды. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Числовые ряды.

@темы: Глава 8. Числовые ряды. (Книга 2)

18:39 

Глава 9. Функциональные ряды. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Функциональные ряды.

@темы: Глава 9. Функциональные ряды. (Книга 2)

18:40 

Глава 10. Степенные ряды. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Степенные ряды.

@темы: Глава 10. Степенные ряды. (Книга 2)

18:42 

Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Пределы числовых функций.

@темы: Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

18:42 

Глава 16. Непрерывные числовые функции. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Непрерывные числовые функции.

@темы: Глава 16. Непрерывные числовые функции. (Книга 1)

18:43 

Глава 17. Дифференцируемые числовые функции. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Дифференцируемые числовые функции.

@темы: Глава 17. Дифференцируемые числовые функции. (Книга 1)

22:28 

Глава 1. Пределы векторных функций. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Пределы векторных функций.

@темы: Глава 1. Пределы векторных функций. (Книга 2)

13:46 

Задание: найти предел функции `F(x)=ln(x^2+e^x)/ln(x^4+e^(2*x))` при `x->+infty`.

Решение:

`lim_(x->+infty)ln(x^2+e^x)/(ln(x^4+e^(2*x)))=[infty/infty]=lim_(x -> +infty) ((ln(x^2+e^x))')/((ln(x^4+e^(2*x)))')=

`lim_(x->+infty)(1/(x^2+e^x)*(2*x+e^x))/(1/(x^4+e^(2*x))*(4*x^3+2*e^(2*x)))= lim_(x->+infty)((x^4+e^(2*x))*(2*x+e^x))/((x^2+e^x)*(4*x^3+2*e^(2*x)))`=

`lim_(x->+infty)(2*x^5+x^4*e^x+2*x*e^(2*x)+e^(3*x))/(4*x^5+2*x^2*e^(2*x)+4*x^3*e^x+2*e^(3*x))`=

`lim_(x->+infty)(2*x^5+e^(3*x))/(4*x^5+2*e^(3*x))=0.5`

Ответ: 0,5
запись создана: 19.01.2013 в 14:37

15:06 

Простейшие методы интегрирования

К простейшим методам интегрирования относится использование основных табличных интегралов в сочетании с обычными алгебраическими преобразованиями и возможностью искать интеграл суммы в виде суммы интегралов, а также выносить постоянный множитель за знак интеграла.

Краткая таблица интегралов



1) $\int const\,dx=const\cdot x+C$
2) $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, $\alpha\neq-1$
3) $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4) $\int \sin (x)\,dx=-\cos(x)+C$
5) $\int \cos (x)\,dx=\sin(x)+C$
6) $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
7) $\int \frac{dx}{\cos^2 (x)}=tg(x)+C$
8) $\int \frac{dx}{\sin^2 (x)}=-ctg(x)+C$
9) $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg(\frac{x}{a})+C$
10) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot \ln\left| \frac{x-a}{x+a}\right|+C$
11) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
12) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$

В равенстве (6) основание показательной функции $a>0, a\neq 1$, в остальных случаях в данной таблице $a$ --- произвольное ненулевое число. Дифференцируя обе части каждого из включенных в таблицу соотношений, можно убедиться в их справедливости.
запись создана: 21.01.2013 в 20:30

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

15:06 

О текущем моменте

Вскоре все студенты Первого потока получат свои индивидуальные варианты домашнего задания. В память об исключенном из учебного плана первом домашнем задании, включавшем исследование нескольких функций и построение их графиков, поиск экстремумов (безусловных) функций многих переменных, исследование линий уровня функций многих переменных и расположения вектора-градиента по отношению к ним, данное задание называется вторым домашним заданием.

Половина заданий ДЗ-2 связана с интегралами. Пока не выданы варианты задания и не было занятий по интегралам, самое время заняться задачами об условных экстремумах. Приветствуются вопросы, связанные с проблемами в процессе решения задач этого раздела.
запись создана: 23.01.2013 в 21:51

10:11 

Как связать сообщение с определенной темой

Есть несколько вариантов.

1) Создать заглавное сообщение, открывающее тему, а последующие сообщения этой темы размещать в виде комментариев.

Такие заготовки уже подготовлены Westhaimerом. К сожалению, заходя на первую страницу сообщества, многие не узнают о поступлении нового сообщения в виде комментария к давнему сообщению. Если специально подписаться на это сообщение, то по почте будут приходить уведомления о новых комментариях. Или надо один раз написать комментарий в эту тему.


2) При создании сообщения указать тему в поле @темы. Можно сразу несколько тем через точку с запятой указать.

В результате позднее любой член сообщества в любое время сможет на левой панели страницы выбрать <Темы записей>-><нужная тема> и увидеть подборку из всех сообщений на выбранную тему, упорядоченную по дате.

Второй вариант кажется более удобным во многих отношениях.

@темы: регламент

19:13 

Попробуйте что-нибудь проинтегрировать


Возьмите, например, заготовку из сообщения westhaimer.diary.ru/p184711233.htm. Скопируйте текст заготовки и вставьте его в визуальный онлайн-редактор формул asciimathml.narod2.ru/visualeditor/ressources/f.... Затем превратите решение задачи 1628 в решение какой-нибудь задачи о простейших интегралах 1629,1631,1633 - 1635,1639 - 1650, 1655 - 1659, 1661 - 1670.

Было.
Номер 1628 из задачника Демидовича. Найти `I=\int (3-x^2)^3 dx`.
Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим `I=\int (27-27*x^2+9*x^4-x^6) dx= 27*x-9*x^3+9/5*x^5-1/7*x^7+C`.

Стало.
Номер 1629 из задачника Демидовича.
Найти `I=\int x^2 (5-x)^4 dx`.

Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^4=a^4-4*a^3*b+6*a^2*b^2-4*a*b^3+b^4` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим
`I=\int (625*x^2-500*x^3+150*x^4-20*x^5+x^6) dx= 625/3*x^3-125*x^4+30*x^5-10/3*x^6+1/7*x^7+C`.

Другой способ решения.
`I=\int((5-x)-5)^2*(5-x)^4dx=\int((5-x)^6-10*(5-x)^5+25*(5-x)^4) dx=-1/7*(5-x)^7+10/6*(5-x)^6-25/5*(5-x)^5+C`.
Здесь использовано следующее свойство интегралов: если `\int f(x)dx=F(x)+C`, то `\int f(\alpha x+\beta)dx=\frac{F(\alpha x+\beta)}{\alpha}+C`, где `\alpha\neq 0, \beta` некоторые вещественные числа. Выражение `5-x` есть выражение типа `\alpha x+\beta` при `\alpha=-1`, `\beta=5`.

Указанные в двух вариантах ответа к задаче 1629 первообразные отличаются только на константу (здесь это `15625/21`).


@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

17:49 

Задача 1648

Найти `I=\int \sqrt{1-\sin(2x)}dx`, `(0\le x\le\pi)`.

Заметим, что `(\cos(x)-\sin(x))^2=\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=1-\sin(2x)`. Следовательно, `I=\int |\cos(x)-\sin(x)| dx`.


Поскольку ` |\cos(x)-\sin(x)|={(\cos(x)-\sin(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\cos(x)+\sin(x) if x\in [\pi/4;\pi]):}`, то первообразные на отрезке `[0;\pi/4]` имееют вид `\sin(x)+\cos(x)+C_1`, а на отрезке `[\pi/4;\pi])` имееют вид `-\sin(x)-\cos(x)+C_2`. Первообразные на всем отрезке `[0;\pi]` должны соответствовать согласованным `C_1` и `C_2`, обеспечивающим непрерывный переход от `(\sin(x)+\cos(x)+C_1)` к `-\sin(x)-\cos(x)+C_2)`.

`\lim_{x\to \pi/4-}(\sin(x)+\cos(x)+C_1)=\sqrt{2}+C_1`, `\lim_{x\to \pi/4+}(-\sin(x)-\cos(x)+C_2)=-\sqrt{2}+C_2`. Следовательно, `C_2-C_1=2\sqrt{2}`. Выбирая `C_1=0`, приходим к одной из первообразных `F(x)={(\sin(x)+\cos(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\sin(x)-\cos(x)+2\sqrt{2} if x\in [\pi/4;\pi]):}`.

Окончательный ответ: `I=F(x)+C`, где `C\in \mathbb{R}`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

09:04 

Задача 1797

Найти `I=\int x^3 e^{x^2} dx`.

Применим метод интегрирования по частям: если на некотором промежутке дифференцируемы функции `f` и `g`, а также по крайней мере одна из функций `fg'` и `f'g` интегрируема , то на этом промежутке интегрируемы обе эти функции, причем
`\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx.`

Здесь напрашивается распределение ролей `f(x)=x^3`, `g'(x)=e^{x^2}`. Однако, интеграл `\int e^{x^2}dx` - "неберущийся", т.е. первообразные не являются элементарными функциями. Поэтому надо "хитрить": `f(x)=x^2`, `g'(x)=xe^{x^2}`. Тогда `f'(x)=2x`, `g(x)=\int xe^{x^2} dx=1/2 e^{x^2}`. Следовательно,
`I=x^2\cdot 1/2 e^{x^2}-\int 2x 1/2 e^{x^2}=1/2 x^2 e^{x^2}-1/2 e^{x^2}+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Mathematical Analysis HSE

главная