• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
15:56 

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!
Я не понимаю, почему sin(x)=O(1) по любой базе, то есть и по базе х стремиться к 0, и в то же время sin(x)=o(1) при х стремиться 0. Мне кажется, я не до конца понимаю, что такое О и о, Вы не могли бы объяснить?

Добавлено администрацией форума.
Для того, чтобы формулы изображались в привычном виде надо придерживаться определенных правил набора формул. В частности, всякая формула должна начинаться и заканчиваться специальной кавычкой, которая на клавиатуре PC связана с той же клавишей, что и русская буква ё. Нажимать эту клавишу надо в режиме латиницы. Ниже в Вашем тексте такие кавычки поставлены. Заодно русские буквы в формулах заменены на похожие латинские.

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!
Я не понимаю, почему `sin(x)=O(1)` по любой базе, то есть и по базе `x` стремиться к `0`, и в то же время `sin(x)=o(1)` при `x` стремиться `0`. Мне кажется, я не до конца понимаю, что такое `O` и `o`, Вы не могли бы объяснить?


@темы: математический анализ, сравнение предельного поведения функций

12:29 

Что такое образ и прообраз мн-ва и вместе с этим иньекция и сюрьекция

Образом множества `A\subset X` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f(A)` множество`\{f(x): x\in A\}\subset Y`.
Если `f(X)=Y`, то отображение `f` называется отображением "на'" `Y` или сюръекцией.
Прообразом множества `B\subset Y` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f^{-1}(B)` множество `{x\in X: f(x)\in B}`.
Если для всех `y\in Y` множество `f^{-1}({y})` содержит не более одной точки, то отображение `f` называется инъекцией.
Отображение `f:X\to Y` называется взаимно однозначным отображением или биекцией, если оно является одновременно инъекцией и сюръекцией.

Таким образом, `f(A)` есть просто множество значений `f` на множестве `A`. Можно рассматривать `f` как отображение `f: A\to Y`, игнорируя действие `f` на внешние точки множества `A`. Для каждой отдельной точки `x\in A` образ соответствующего одноточечного множества `{x}` есть значение `f(x)` в данной точке. Множество `f(A)`есть объединение всех таких одноточечных множеств `f(x)`, т.е. `f(A)=\cup_{x\in A} f(x)`.

Пообраз одноточесного множества `{y}` есть нe что иное, как множество решений уравнения `f(x)=y` с параметром `y`. Прообраз множества `B` есть объединение решений всех таких уравнений для `y\in B`. Например, при отображении `f:RR\to RR`, где `f=\sin`, образ одноточечного множества `{0}` есть одноточечное множество `{0}`, а прообраз нуля есть множество решений уравнения `\sin x=0`, т.е. `x=\pi\cdot n, n\in ZZ`. Для обеспечения единсвенности решений данного уравнения достаточно рассматривать синус на отрезке `[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]`. На том же отрезке уравнение `\sin x=y` имеет не более одного решения для любого `y\in RR`, т.е. `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` является инъекцией. Для `y\notin [-1,1]` уравнение решения не имеет, т.е.`f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` не является сюръекцией. Отображение `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]` , где `f=\sin`, является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, это взаимно однозначное отображение указанных множеств или биекция.

Рассмотрим примеры отображений плоскости `E^2` и пространства `E^3`.
Отображения `f:E^2\to E^2` параллельный перенос, поворот плоскости вокруг заданной точки, симметрия относительно заданной точки, симметрия относительно заданной прямой, гомотетия (растяжение или сжатие плоскости относительно заданной точки) являются биекцией. Проекция плоскости на заданную прямую не является ни инъекцией, ни сюръекцией.

При попытке изобразить пространственную фигуру на плоскости обычно совершается некоторая разновидность проекции `f:E^3\to E^2`. При этом неизбежно параллельные направлению проецирования прямые переходят в точки. Т.е. инъективности нет, но есть сюръективность.

@темы: Образ, прообраз, биекция

22:09 

Домашняя работа #1 по лин. алгебре

Елена Борисовна, вопрос к Вам!
В дом. работе #1, которую Вы выслали нам (группе 1103, в частности), все номера (кроме первого на метод Гаусса) основаны на темах, которые мы еще не прошли. Как быть с этими заданиями? И до какого времени нужно сделать эту работу???
Заранее спасибо,
Бенов Александр (1 курс, эконом. фак-т)

@темы: Домашняя работа

01:30 

Дифференциальные уравнения. Пример.

Сергей Гиргорьевич, помогите пожалуйста решить пример.
`y=xy'-lny'` решить уравнение, исследовать его особые решения и изобразить качественное поведение интегральных кривых.
С уважением, Евдокимов Сергей.

16:04 

Консультация 24.05

Сергей Григорьевич, можно ли попросить вас о консультации по решению дифференциальных уравнений? Желательно, в 16.30. Люди с вопросами будут!

08:04 

Интересный пример по матанализу

Исследуйте сходимость ряда
`sum_(n=1)^infty (n^3(lnn)^2)/(n+arctg n)^6`

22:51 

Задачи на контрольной

Здравствуйте, Сергей Григорьевич.
Не могли бы вы напомнить, какие задачи будут на контрольной номер 4 и экзамене?

21:05 

Наибольшее и наименьшее значение функции в области

Добрый вечер! Возник вопрос по поводу решения задач на нахождение минимума и максимума функции, на подобие номера 3676 из Демидовича. Вопрос в следующем: После того как мы применили метод Лагранжа и нашли подозрительные точки на экстремум, мы можем сразу подставить их в исходную функцию и найти где макс. и где мин?

@темы: Наибольшее и наименьшее значение функции в области

09:21 

Простейшие замены переменных

Соотношение `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(x))+C`, где `F` - одна из первообразных `f`, проверяется дифференцированием левой и правой части. Отсюда в соответствующем определенном интеграле по формуле Ньютона-Лейбница `\int_a^b f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt`. Монотонность функции `\varphi` не требуется.

Например, в задаче 1697 требуется найти `I=\int tg(x) dx`. Поскольку `tg(x)=\sin (x)/\cos(x)`, а `\cos'(x)=-\sin(x)`, то здесь с точностью до знака интеграл вида `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx`, где `\varphi(x)=\cos(x)`. Поскольку подходящую функцию `F` еще надо найти как одну из перообразных `f`, то здесь принято писать следующим образом.
Пусть `t=\varphi(x)=\cos(x)`. Тогда `dt=-\sin(x)dx` или `\sin(x)dx=-dt` и
`I=\int \frac{-dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|cos(x)|+C`.

Примерно также в задаче 1698 находится `I=\int ctg(x) dx=\ln|\sin(x)|+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

09:04 

Задача 1797

Найти `I=\int x^3 e^{x^2} dx`.

Применим метод интегрирования по частям: если на некотором промежутке дифференцируемы функции `f` и `g`, а также по крайней мере одна из функций `fg'` и `f'g` интегрируема , то на этом промежутке интегрируемы обе эти функции, причем
`\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx.`

Здесь напрашивается распределение ролей `f(x)=x^3`, `g'(x)=e^{x^2}`. Однако, интеграл `\int e^{x^2}dx` - "неберущийся", т.е. первообразные не являются элементарными функциями. Поэтому надо "хитрить": `f(x)=x^2`, `g'(x)=xe^{x^2}`. Тогда `f'(x)=2x`, `g(x)=\int xe^{x^2} dx=1/2 e^{x^2}`. Следовательно,
`I=x^2\cdot 1/2 e^{x^2}-\int 2x 1/2 e^{x^2}=1/2 x^2 e^{x^2}-1/2 e^{x^2}+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

17:49 

Задача 1648

Найти `I=\int \sqrt{1-\sin(2x)}dx`, `(0\le x\le\pi)`.

Заметим, что `(\cos(x)-\sin(x))^2=\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=1-\sin(2x)`. Следовательно, `I=\int |\cos(x)-\sin(x)| dx`.


Поскольку ` |\cos(x)-\sin(x)|={(\cos(x)-\sin(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\cos(x)+\sin(x) if x\in [\pi/4;\pi]):}`, то первообразные на отрезке `[0;\pi/4]` имееют вид `\sin(x)+\cos(x)+C_1`, а на отрезке `[\pi/4;\pi])` имееют вид `-\sin(x)-\cos(x)+C_2`. Первообразные на всем отрезке `[0;\pi]` должны соответствовать согласованным `C_1` и `C_2`, обеспечивающим непрерывный переход от `(\sin(x)+\cos(x)+C_1)` к `-\sin(x)-\cos(x)+C_2)`.

`\lim_{x\to \pi/4-}(\sin(x)+\cos(x)+C_1)=\sqrt{2}+C_1`, `\lim_{x\to \pi/4+}(-\sin(x)-\cos(x)+C_2)=-\sqrt{2}+C_2`. Следовательно, `C_2-C_1=2\sqrt{2}`. Выбирая `C_1=0`, приходим к одной из первообразных `F(x)={(\sin(x)+\cos(x) if x\in [0;\pi/4]),(-\sin(x)-\cos(x)+2\sqrt{2} if x\in [\pi/4;\pi]):}`.

Окончательный ответ: `I=F(x)+C`, где `C\in \mathbb{R}`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

19:13 

Попробуйте что-нибудь проинтегрировать


Возьмите, например, заготовку из сообщения westhaimer.diary.ru/p184711233.htm. Скопируйте текст заготовки и вставьте его в визуальный онлайн-редактор формул asciimathml.narod2.ru/visualeditor/ressources/f.... Затем превратите решение задачи 1628 в решение какой-нибудь задачи о простейших интегралах 1629,1631,1633 - 1635,1639 - 1650, 1655 - 1659, 1661 - 1670.

Было.
Номер 1628 из задачника Демидовича. Найти `I=\int (3-x^2)^3 dx`.
Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^3=a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим `I=\int (27-27*x^2+9*x^4-x^6) dx= 27*x-9*x^3+9/5*x^5-1/7*x^7+C`.

Стало.
Номер 1629 из задачника Демидовича.
Найти `I=\int x^2 (5-x)^4 dx`.

Решение. Применяя известную алгебраическую формулу `(a-b)^4=a^4-4*a^3*b+6*a^2*b^2-4*a*b^3+b^4` и табличный интеграл `\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C` при `\alpha\neq-1`, получим
`I=\int (625*x^2-500*x^3+150*x^4-20*x^5+x^6) dx= 625/3*x^3-125*x^4+30*x^5-10/3*x^6+1/7*x^7+C`.

Другой способ решения.
`I=\int((5-x)-5)^2*(5-x)^4dx=\int((5-x)^6-10*(5-x)^5+25*(5-x)^4) dx=-1/7*(5-x)^7+10/6*(5-x)^6-25/5*(5-x)^5+C`.
Здесь использовано следующее свойство интегралов: если `\int f(x)dx=F(x)+C`, то `\int f(\alpha x+\beta)dx=\frac{F(\alpha x+\beta)}{\alpha}+C`, где `\alpha\neq 0, \beta` некоторые вещественные числа. Выражение `5-x` есть выражение типа `\alpha x+\beta` при `\alpha=-1`, `\beta=5`.

Указанные в двух вариантах ответа к задаче 1629 первообразные отличаются только на константу (здесь это `15625/21`).


@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

10:11 

Как связать сообщение с определенной темой

Есть несколько вариантов.

1) Создать заглавное сообщение, открывающее тему, а последующие сообщения этой темы размещать в виде комментариев.

Такие заготовки уже подготовлены Westhaimerом. К сожалению, заходя на первую страницу сообщества, многие не узнают о поступлении нового сообщения в виде комментария к давнему сообщению. Если специально подписаться на это сообщение, то по почте будут приходить уведомления о новых комментариях. Или надо один раз написать комментарий в эту тему.


2) При создании сообщения указать тему в поле @темы. Можно сразу несколько тем через точку с запятой указать.

В результате позднее любой член сообщества в любое время сможет на левой панели страницы выбрать <Темы записей>-><нужная тема> и увидеть подборку из всех сообщений на выбранную тему, упорядоченную по дате.

Второй вариант кажется более удобным во многих отношениях.

@темы: регламент

15:06 

О текущем моменте

Вскоре все студенты Первого потока получат свои индивидуальные варианты домашнего задания. В память об исключенном из учебного плана первом домашнем задании, включавшем исследование нескольких функций и построение их графиков, поиск экстремумов (безусловных) функций многих переменных, исследование линий уровня функций многих переменных и расположения вектора-градиента по отношению к ним, данное задание называется вторым домашним заданием.

Половина заданий ДЗ-2 связана с интегралами. Пока не выданы варианты задания и не было занятий по интегралам, самое время заняться задачами об условных экстремумах. Приветствуются вопросы, связанные с проблемами в процессе решения задач этого раздела.
запись создана: 23.01.2013 в 21:51

15:06 

Простейшие методы интегрирования

К простейшим методам интегрирования относится использование основных табличных интегралов в сочетании с обычными алгебраическими преобразованиями и возможностью искать интеграл суммы в виде суммы интегралов, а также выносить постоянный множитель за знак интеграла.

Краткая таблица интегралов



1) $\int const\,dx=const\cdot x+C$
2) $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, $\alpha\neq-1$
3) $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4) $\int \sin (x)\,dx=-\cos(x)+C$
5) $\int \cos (x)\,dx=\sin(x)+C$
6) $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
7) $\int \frac{dx}{\cos^2 (x)}=tg(x)+C$
8) $\int \frac{dx}{\sin^2 (x)}=-ctg(x)+C$
9) $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg(\frac{x}{a})+C$
10) $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot \ln\left| \frac{x-a}{x+a}\right|+C$
11) $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{|a|}+C$
12) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C$

В равенстве (6) основание показательной функции $a>0, a\neq 1$, в остальных случаях в данной таблице $a$ --- произвольное ненулевое число. Дифференцируя обе части каждого из включенных в таблицу соотношений, можно убедиться в их справедливости.
запись создана: 21.01.2013 в 20:30

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

13:46 

Задание: найти предел функции `F(x)=ln(x^2+e^x)/ln(x^4+e^(2*x))` при `x->+infty`.

Решение:

`lim_(x->+infty)ln(x^2+e^x)/(ln(x^4+e^(2*x)))=[infty/infty]=lim_(x -> +infty) ((ln(x^2+e^x))')/((ln(x^4+e^(2*x)))')=

`lim_(x->+infty)(1/(x^2+e^x)*(2*x+e^x))/(1/(x^4+e^(2*x))*(4*x^3+2*e^(2*x)))= lim_(x->+infty)((x^4+e^(2*x))*(2*x+e^x))/((x^2+e^x)*(4*x^3+2*e^(2*x)))`=

`lim_(x->+infty)(2*x^5+x^4*e^x+2*x*e^(2*x)+e^(3*x))/(4*x^5+2*x^2*e^(2*x)+4*x^3*e^x+2*e^(3*x))`=

`lim_(x->+infty)(2*x^5+e^(3*x))/(4*x^5+2*e^(3*x))=0.5`

Ответ: 0,5
запись создана: 19.01.2013 в 14:37

22:28 

Глава 1. Пределы векторных функций. (Книга 2)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Пределы векторных функций.

@темы: Глава 1. Пределы векторных функций. (Книга 2)

18:43 

Глава 17. Дифференцируемые числовые функции. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Дифференцируемые числовые функции.

@темы: Глава 17. Дифференцируемые числовые функции. (Книга 1)

18:42 

Глава 16. Непрерывные числовые функции. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Непрерывные числовые функции.

@темы: Глава 16. Непрерывные числовые функции. (Книга 1)

18:42 

Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

hsemath
Здесь решаются и обсуждаются на тему Пределы числовых функций.

@темы: Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

Mathematical Analysis HSE

главная