Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
20:06 

Консультация в четверг 17.10

Добрый вечер, студенты!
Выберите, пожалуйста, удобное для Вас время в четверг. vk.com/club58610899
Сергей.

11:40 

Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, 1661-1704

Прочитать о Гийоме Франсуа Лопитале можно здесь
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%BF%D0%B8%...

@темы: Правило Лопиталя

19:47 

Добрый вечер.
Помогите пожалуйста со следующими пределами.
`lim_(x -> +oo) (x^2 +x(lnx)^100)/x^2`

`lim_(x -> 0) sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/root(8)(x)`

`lim_(x -> +oo) (arccossqrt(x^2 + x) - x)`

`lim_(x -> 1) (1-x)log_x 2`

`lim_(x -> 0) ln(x^2 + e^x)/ln(x^4 + e^(2x))`

И я не очень понял что делать в данном примере. Перенести все кроме о маленького в одну сторону и решать передел?
При `x to 0` доказать, что `(1+x)^n = 1 + nx + o(x)`

@темы: сравнение предельного поведения функций, Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

20:56 

как найти предел
`lim_(x ->2) ((arctg(x-4))/(x-2)^2)`?

19:55 

нахождение придела функции (часть задачи 470)

Как найти данный предел?
`lim_(x ->- oo) (sqrt(x^2-x+1)/x)`

23:09 

Сергей Григорьевич, добрый вечер!
Объясните, пожалуйста, почему функция `|(sin(x))/|x||` непрерывна в точке x=0, а функция `(sin(x))/x` разрывна в точке x=0? Ведь в обоих случаях наблюдается устранимый разрыв в точке x=0, или же не в этой точке дело?

20:31 

Добрый вечер.
А что означает задание "определить порядки милости "?

@темы: Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

19:11 

Здравствуйте, Сегрей Григорьевич!
Не могли бы вы помочь с решением следующих пределов?
`lim_(x -> oo) (arctg(x))/x`
`lim_(x -> 0) sqrt(4cos(3x) + xarctg(1/x))`
`lim_(x -> 0) (sinx - xcos(x))/(sin(x))^3`
`lim_(x -> 0) (ln(1+3xsin(x)))/(tg(x^2)+x^4)`
`lim_(x -> oo) (x + sinx)/(x - cosx)`

@темы: Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

21:34 

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!
У меня следующий вопрос. В одном из заданий требуется определить порядок малости заданной функции относительно переменной x, которая стремится к 0, а также выделить главный член вида `Cx^n`
Подскажите, с чего начать и что, собственно, требуется предпринять? (Такого рода задание пока не встречалось).

@темы: Глава 15. Пределы числовых функций. (Книга 1)

23:36 

Консультация 30 сентября

На консультации разбирались примеры, которые собраны в данном файле. В нем также дана дополнительная теоретическая информация об О больших и о маленьких.

Ссылка: vk.com/doc38713625_225278668?hash=977bade7a270a...

15:56 

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!
Я не понимаю, почему sin(x)=O(1) по любой базе, то есть и по базе х стремиться к 0, и в то же время sin(x)=o(1) при х стремиться 0. Мне кажется, я не до конца понимаю, что такое О и о, Вы не могли бы объяснить?

Добавлено администрацией форума.
Для того, чтобы формулы изображались в привычном виде надо придерживаться определенных правил набора формул. В частности, всякая формула должна начинаться и заканчиваться специальной кавычкой, которая на клавиатуре PC связана с той же клавишей, что и русская буква ё. Нажимать эту клавишу надо в режиме латиницы. Ниже в Вашем тексте такие кавычки поставлены. Заодно русские буквы в формулах заменены на похожие латинские.

Здравствуйте, Сергей Григорьевич!
Я не понимаю, почему `sin(x)=O(1)` по любой базе, то есть и по базе `x` стремиться к `0`, и в то же время `sin(x)=o(1)` при `x` стремиться `0`. Мне кажется, я не до конца понимаю, что такое `O` и `o`, Вы не могли бы объяснить?


@темы: математический анализ, сравнение предельного поведения функций

12:29 

Что такое образ и прообраз мн-ва и вместе с этим иньекция и сюрьекция

Образом множества `A\subset X` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f(A)` множество`\{f(x): x\in A\}\subset Y`.
Если `f(X)=Y`, то отображение `f` называется отображением "на'" `Y` или сюръекцией.
Прообразом множества `B\subset Y` при отображении `f:X\to Y` называется обозначаемое через `f^{-1}(B)` множество `{x\in X: f(x)\in B}`.
Если для всех `y\in Y` множество `f^{-1}({y})` содержит не более одной точки, то отображение `f` называется инъекцией.
Отображение `f:X\to Y` называется взаимно однозначным отображением или биекцией, если оно является одновременно инъекцией и сюръекцией.

Таким образом, `f(A)` есть просто множество значений `f` на множестве `A`. Можно рассматривать `f` как отображение `f: A\to Y`, игнорируя действие `f` на внешние точки множества `A`. Для каждой отдельной точки `x\in A` образ соответствующего одноточечного множества `{x}` есть значение `f(x)` в данной точке. Множество `f(A)`есть объединение всех таких одноточечных множеств `f(x)`, т.е. `f(A)=\cup_{x\in A} f(x)`.

Пообраз одноточесного множества `{y}` есть нe что иное, как множество решений уравнения `f(x)=y` с параметром `y`. Прообраз множества `B` есть объединение решений всех таких уравнений для `y\in B`. Например, при отображении `f:RR\to RR`, где `f=\sin`, образ одноточечного множества `{0}` есть одноточечное множество `{0}`, а прообраз нуля есть множество решений уравнения `\sin x=0`, т.е. `x=\pi\cdot n, n\in ZZ`. Для обеспечения единсвенности решений данного уравнения достаточно рассматривать синус на отрезке `[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]`. На том же отрезке уравнение `\sin x=y` имеет не более одного решения для любого `y\in RR`, т.е. `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` является инъекцией. Для `y\notin [-1,1]` уравнение решения не имеет, т.е.`f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to RR` не является сюръекцией. Отображение `f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1]` , где `f=\sin`, является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, это взаимно однозначное отображение указанных множеств или биекция.

Рассмотрим примеры отображений плоскости `E^2` и пространства `E^3`.
Отображения `f:E^2\to E^2` параллельный перенос, поворот плоскости вокруг заданной точки, симметрия относительно заданной точки, симметрия относительно заданной прямой, гомотетия (растяжение или сжатие плоскости относительно заданной точки) являются биекцией. Проекция плоскости на заданную прямую не является ни инъекцией, ни сюръекцией.

При попытке изобразить пространственную фигуру на плоскости обычно совершается некоторая разновидность проекции `f:E^3\to E^2`. При этом неизбежно параллельные направлению проецирования прямые переходят в точки. Т.е. инъективности нет, но есть сюръективность.

@темы: Образ, прообраз, биекция

22:09 

Домашняя работа #1 по лин. алгебре

Елена Борисовна, вопрос к Вам!
В дом. работе #1, которую Вы выслали нам (группе 1103, в частности), все номера (кроме первого на метод Гаусса) основаны на темах, которые мы еще не прошли. Как быть с этими заданиями? И до какого времени нужно сделать эту работу???
Заранее спасибо,
Бенов Александр (1 курс, эконом. фак-т)

@темы: Домашняя работа

01:30 

Дифференциальные уравнения. Пример.

Сергей Гиргорьевич, помогите пожалуйста решить пример.
`y=xy'-lny'` решить уравнение, исследовать его особые решения и изобразить качественное поведение интегральных кривых.
С уважением, Евдокимов Сергей.

16:04 

Консультация 24.05

Сергей Григорьевич, можно ли попросить вас о консультации по решению дифференциальных уравнений? Желательно, в 16.30. Люди с вопросами будут!

08:04 

Интересный пример по матанализу

Исследуйте сходимость ряда
`sum_(n=1)^infty (n^3(lnn)^2)/(n+arctg n)^6`

22:51 

Задачи на контрольной

Здравствуйте, Сергей Григорьевич.
Не могли бы вы напомнить, какие задачи будут на контрольной номер 4 и экзамене?

21:05 

Наибольшее и наименьшее значение функции в области

Добрый вечер! Возник вопрос по поводу решения задач на нахождение минимума и максимума функции, на подобие номера 3676 из Демидовича. Вопрос в следующем: После того как мы применили метод Лагранжа и нашли подозрительные точки на экстремум, мы можем сразу подставить их в исходную функцию и найти где макс. и где мин?

@темы: Наибольшее и наименьшее значение функции в области

09:21 

Простейшие замены переменных

Соотношение `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(x))+C`, где `F` - одна из первообразных `f`, проверяется дифференцированием левой и правой части. Отсюда в соответствующем определенном интеграле по формуле Ньютона-Лейбница `\int_a^b f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt`. Монотонность функции `\varphi` не требуется.

Например, в задаче 1697 требуется найти `I=\int tg(x) dx`. Поскольку `tg(x)=\sin (x)/\cos(x)`, а `\cos'(x)=-\sin(x)`, то здесь с точностью до знака интеграл вида `\int f(\varphi(x))\cdot \varphi' (x) dx`, где `\varphi(x)=\cos(x)`. Поскольку подходящую функцию `F` еще надо найти как одну из перообразных `f`, то здесь принято писать следующим образом.
Пусть `t=\varphi(x)=\cos(x)`. Тогда `dt=-\sin(x)dx` или `\sin(x)dx=-dt` и
`I=\int \frac{-dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|cos(x)|+C`.

Примерно также в задаче 1698 находится `I=\int ctg(x) dx=\ln|\sin(x)|+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

09:04 

Задача 1797

Найти `I=\int x^3 e^{x^2} dx`.

Применим метод интегрирования по частям: если на некотором промежутке дифференцируемы функции `f` и `g`, а также по крайней мере одна из функций `fg'` и `f'g` интегрируема , то на этом промежутке интегрируемы обе эти функции, причем
`\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x) dx.`

Здесь напрашивается распределение ролей `f(x)=x^3`, `g'(x)=e^{x^2}`. Однако, интеграл `\int e^{x^2}dx` - "неберущийся", т.е. первообразные не являются элементарными функциями. Поэтому надо "хитрить": `f(x)=x^2`, `g'(x)=xe^{x^2}`. Тогда `f'(x)=2x`, `g(x)=\int xe^{x^2} dx=1/2 e^{x^2}`. Следовательно,
`I=x^2\cdot 1/2 e^{x^2}-\int 2x 1/2 e^{x^2}=1/2 x^2 e^{x^2}-1/2 e^{x^2}+C`.

@темы: Неопределенный интеграл, Определенный интеграл

Mathematical Analysis HSE

главная